죄 x의 적분 -cos(x)에 상수(C)를 더한 것입니다. 이는 사인 곡선 아래의 면적을 나타냅니다. 이 함수는 주기적인 특성으로 인해 2π 라디안마다 반복됩니다. 이 기사에서는 사인 함수의 적분을 설명하고 공식, 증명 및 특정 정적분을 찾는 적용을 보여줍니다. 또한, 해결된 문제와 자주 묻는 질문을 언급합니다.
내용의 테이블
- Sin x의 적분이란 무엇입니까?
- Sin x 공식의 적분
- Sin x 적분의 그래픽적 중요성
- 죄의 적분 x 치환 방법에 의한 증명
- 죄 x의 정적분
- 0에서 π까지의 Sin x 적분
- Sin x의 적분 0에서 π/2까지
Sin x의 적분이란 무엇입니까?
x에 관한 sin(x)의 적분은 -cos(x)에 상수(C)를 더한 것입니다. 이는 x에 대해 -cos(x)를 미분하면 sin(x)가 된다는 의미입니다. 적분 상수(C)는 원래 함수에 존재할 수 있는 추가 상수 값을 나타냅니다.
sin x의 적분은 물리적으로 사인 곡선 아래에 포함된 영역을 나타냅니다.
배우다,
- 수학에서의 미적분학
- 수학의 통합
Sin x 공식의 적분
사인 함수의 적분 ∫ sin(x) dx는 -cos(x) + C와 같습니다. 여기서 C는 적분 상수입니다.
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
여기서 cos(x)는 코사인 함수이고, C는 상수의 도함수가 0이므로 역도함수에 더해지는 상수를 나타낸다.
Sin x 적분의 그래픽적 중요성
( a )에서 ( b )까지의 sin(x) 적분은 이 구간 내의 곡선 아래 면적을 계산한다는 점에서 그래픽적 의미를 갖습니다. 정적분법과 기하학적 방법을 모두 사용하여 그래픽적 의미를 살펴보겠습니다.
유한적분법
( a )에서 ( b )까지의 sin(x)의 적분은 다음과 같이 계산됩니다.
이는 곡선 sin(x)와 (a)에서 (b)까지의 x축 사이의 부호 있는 영역을 나타냅니다.
기하학적 방법
( a )에서 ( b )까지의 sin(x) 그래프를 생각해 보세요. 곡선 아래 영역은 두 영역으로 나눌 수 있습니다.
- 긍정적인 지역: sin(x)가 양수인 영역(x축 위). 이는 곡선 아래의 양의 영역에 기여합니다.
- 부정적인 지역: sin(x)가 음수인 영역(x축 아래). 이는 곡선 아래의 음의 영역에 기여합니다.
총 면적은 이러한 양수 면적과 음수 면적의 대수적 합입니다.
예:
( a =0 ) 에서 ( b = π/2 )까지 sin(x) 곡선 아래의 면적을 구합니다.
정적분법을 사용하면 다음과 같습니다.
∫0p/2죄 x = [-cos x]0p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1
이는 곡선 아래의 서명된 영역입니다.
기하학적 방법을 사용하여:
0에서 (π/2)까지의 sin(x) 그래프는 원의 1/4이고 면적은 실제로 1입니다.
대체 방법에 의한 Sin x Proof 통합
치환 방법을 사용하여 sin(x)의 적분을 찾기 위해 적분을 고려해 보겠습니다.
삼각함수 적분의 일반적인 대체 중 하나는 u를 삼각함수 내부의 표현식과 동일하게 두는 것입니다. 이 경우 u = cos(x)로 둡니다. 그런 다음 dx로 du를 계산합니다.
du/dx = -sin(x)
이제 dx를 풀어보세요.
dx = -1/sin(x) du
이제 u와 dx를 u의 관점에서 원래 적분으로 대체합니다.
sin(x)의 적분 dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)
표현을 단순화합니다:
sin(x)의 적분 dx = -∫ du
이제 당신과 관련하여 통합하십시오.
sin(x)의 적분 dx = -u + C
이제 cos(x)로 정의된 u를 다시 대체합니다.
sin(x)의 적분 dx = -cos(x) + C
그래서 치환법을 사용하여 도함수에 의한 증명과 같은 결과를 얻었습니다. sin(x)의 적분은 -cos(x) + C입니다. 여기서 C는 적분 상수입니다.
죄 x의 정적분
a에서 b까지의 sin(x)의 정적분은 다음과 같이 표시됩니다.
∫ 비 ㅏ 죄(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]
x축 위아래 영역의 방향을 고려하여 x = a와 x = b 사이의 사인 곡선 아래 순 영역을 계산합니다.
배우다, 확실한 적분
Sin의 적분 x 0부터 파이
0에서 π까지 sin(x)의 적분을 찾기 위해 역도함수를 사용할 수 있습니다. sin(x)의 역도함수는 -cos(x)입니다. 이 역도함수를 0에서 π까지 평가하면 다음을 얻습니다.
∫0파이죄(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]
∫0파이죄(x) dx = [-(-1) + 1]
cos(π)는 -1이고 cos(0)은 1이므로 표현식은 다음과 같이 단순화됩니다.
∫0파이죄(x) dx = 1 + 1 = 2
따라서 0에서 π까지의 sin(x) 적분은 2와 같습니다. 이는 sin(x) 곡선과 x = 0에서 x = π까지의 x축 사이의 부호 있는 영역을 나타냅니다.
Sin의 적분 x 0부터 파이 /2
정적분은 주어진 구간에서 곡선과 x축 사이의 부호 있는 영역을 나타냅니다.
Java에서 날짜 형식 지정
적분은 다음과 같이 주어진다:
∫0p/2죄(x)dx
역도함수 -cos(x)를 사용하여 적분을 계산합니다.
cos(x) |[0 ~ π/2]
이제 π/2를 -cos(x)로 대체합니다.
cos(π/2) - (-cos(0))
cos(π/2) = 0이고 cos(0) = 1임을 기억하세요. 다음 값을 대체하세요.
-(0) – (-1)
단순화:
0 + 1 = 1
0에서 π/2까지의 sin(x)의 정적분은 1과 같습니다. 이는 사인 곡선과 x = 0에서 x = π/2까지의 x축 사이의 부호 있는 면적이 1임을 의미합니다.
또한 확인하세요
- Cos x의 적분
- Tan x의 통합
- 통합 공식
Sin x의 적분 – 해결된 예
예시 1: sin2(x)의 적분 구하기
해결책:
없이2(x), cos(2x)와 관련된 공식을 사용할 수 있습니다.
∫죄2(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx
두 부분으로 나눕니다.
= (1/2)∫dx - (1/2)∫cos(2x) dx
dx의 적분은 단지 x입니다. cos(2x)의 적분에는 sin(2x) 공식을 사용하는 것이 포함됩니다. 다음과 같습니다:
= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C
두 결과를 결합하고 원래 적분의 잠재적 상수를 설명하기 위해 상수 C를 추가합니다.
(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C
예시 2: 사인의 적분 구하기 삼 엑스.
해결책:
x에 대한 사인 큐브의 적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
∫죄삼xdx
삼각법 항등식을 사용하여 다음을 단순화합니다.
없이삼x = [1 – 왜냐하면2(x)] 죄(x)
∫[1 – 왜냐하면2(x)] 죄(x) dx
용어를 배포하고 분리합니다.
∫[죄 x – 죄 x. 코사인2(x)]dx
각 용어를 별도로 통합합니다.
-cos(x) + 1/3 cos삼x + C
여기서 (C)는 적분상수를 나타낸다.
예시 3: sin x의 적분 찾기 -1
해결책:
sin(x)의 적분-1아크사인 함수를 사용하여 표현할 수 있습니다. 적분은 다음과 같이 주어진다:
∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| + 씨
여기서 (C)는 적분상수이다.
예시 4: sin x의 적분 찾기 2
해결책:
x에 대한 sin²(x)의 적분은 삼각법 항등식을 사용하여 풀 수 있습니다.
∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx
이제 각 용어를 개별적으로 통합합니다.
1/2∫(1−cos(2x))dx = 1/2(∫1dx−∫cos(2x)dx)
= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C
여기서 (C)는 적분 상수입니다.
예시 5: sin x의 적분 찾기 -삼
해결책:
sin(x)의 적분-삼(x)와 관련하여 삼각법 치환이 포함됩니다. 해결 방법은 다음과 같습니다.
u = sin(x), du = cos(x)dx라고 가정
이제 다음을 적분으로 대체합니다.
∫죄(x)-3dx = ∫u-3~의
이제 (u)에 대해 적분합니다.
∫너-3당신 = 당신-2/−2 + C
u = sin(x)를 사용하여 (x)로 다시 대체합니다.
∫죄(x)-3dx = -1/2sin2x + C
따라서 sin(x)의 적분은-삼(x)에 대해서는 -1/2sin입니다.2x , 여기서 (C)는 적분 상수입니다.
예시 6: sin 역 x의 적분 구하기
해결책:
죄의 완전성을 찾으려면-1(x) (x)에 대해서는 부분적분을 이용할 수 있습니다. 부분별 적분 공식은 다음과 같습니다.
∫udv=uv−∫vdu
너 = 죄-1(x) 및 dv = dx
이제 (du)와 (v)를 찾으세요.
du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx v = x
부품별 통합 공식을 적용합니다.
int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx 이제 우변의 나머지 항을 적분합니다. 다음과 같이 하면 대체를 사용할 수 있습니다(t = 1 – x2), 그런 다음 (dt = -2x, dx):
int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt = √t + C
이제 (x)를 다시 대입해 보겠습니다.
= -sqrt{1 – x^2} + C 함께 모아서:
int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C 여기서 (C)는 적분 상수입니다.
예시 7: x sin 2x dx의 적분 구하기
해결책:
(x)에 대한 xsin(2x)의 적분을 찾으려면 부분별 적분을 사용할 수 있습니다. 부분별 적분 공식은 다음과 같습니다.
∫udv = uv − ∫vdu
u = x 및 dv = sin(2x)dx
이제 (du)와 (v)를 찾으세요.
du = dx 및 v = -1/2cos(2x)
부품별 통합 공식을 적용합니다.
∫x.sin (2x) dx = −1/2.x.cos (2x) − ∫−1/2 cos(2x) dx
이제 우변의 나머지 항을 적분합니다. -1/2cos(2x)의 적분은 (u = 2x)를 놓고 간단한 치환을 사용하여 찾을 수 있습니다.
∫−1/2cos(2x)dx = −1/4sin(2x)
이 결과를 원래 방정식으로 다시 대체합니다.
-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C
파이썬은 바이트를 문자열로 변환합니다.따라서 (x)에 대한 xsin(2x)의 적분은 -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C입니다. 여기서 (C)는 적분 상수입니다.
예시 8: sin x cos 2x의 적분 구하기
해결책:
(x)에 대한 sin(x) cos(2x)의 적분을 찾으려면 부분별 적분을 사용할 수 있습니다. 부품별 통합 공식은 다음과 같습니다.
∫udv = uv − ∫vdu
u = sin(x) 및 dv = cos(2x)dx
이제 (du)와 (v)를 찾으세요.
du = cos(x) dx 및 v = 1/2 sin(2x)
부품별 통합 공식을 적용합니다.
∫sin(x).cos(2x)dx = 1/2sin(x)sin(2x) − ∫1/2sin(2x)cos(x)dx
이제 우변의 나머지 항을 적분합니다. 부분별 통합을 다시 사용할 수 있습니다.
∫1/2sin(2x)cos(x)dx = 1/4cos(2x)cos(x) − ∫1/4cos(2x)sin(x)dx
통합이 관리 가능해질 때까지 프로세스를 계속합니다. 단순화하면 최종 결과는 다음과 같습니다.
1/2 사인(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C
여기서 (C)는 적분 상수입니다.
죄 x의 적분 – 연습 문제
Q1. 0부터 pi까지 사인의 적분을 구합니다.
Q2. -π/2에서 π/2까지 사인의 적분을 계산합니다.
Q3. x에 대한 사인과 코사인의 적분 값을 구합니다.
Q4. 0에서 π/3까지 사인(2x)의 적분을 계산합니다.
Q5. x에 대한 사인(3x)의 역도함수를 구합니다.
Q6. π에서 2π까지 사인(2x)의 적분을 계산합니다.
Q7. x에 대해 사인 제곱 함수를 적분합니다.
Q8. -π/4부터 π/4까지 사인 제곱의 적분을 계산합니다.
죄 x의 적분 – 자주 묻는 질문
Sin x의 적분이란 무엇입니까?
sin x의 적분은 -cos x입니다.
죄x란 무엇인가?
Sin(x)는 직각삼각형에서 빗변의 길이에 대한 반대쪽 변의 길이의 비율을 나타내는 삼각함수입니다.
죄의 범위 x는 무엇입니까?
Sin x의 범위는 [-1, 1]입니다.
Sin x의 적분과 미분은 무엇입니까?
sin x의 적분은 -cos x이고 s x의 도함수는 cos x입니다.
Sin x와 Cos x의 적분이란 무엇입니까?
sin x의 적분은 -cos x + C이고 cos x의 적분은 sin x입니다.
Sin 2x의 적분이란 무엇입니까?
sin 2x의 적분은 (-cos2x)/2 + c입니다.