3 × 3 행렬의 역행렬 는 행렬 이를 원래의 Matrix와 곱하면 다음이 됩니다. 단위 행렬 제품으로. 행렬의 역행렬은 선형 대수학의 기본 측면입니다. 이 프로세스는 선형 방정식 시스템과 다양한 수학적 응용을 해결하는 데 중요한 역할을 합니다. 역행렬을 계산하려면 수행행렬을 계산해야 합니다. 행렬식(0이 아니어야 함)을 검사하여 행렬의 가역성을 확인하고 공식을 적용하여 역행렬을 도출해야 합니다.

이 문서에서는 3 × 3 행렬의 역행렬의 다양한 개념과 3 × 3 행렬의 보조 인자, 수행 행렬 및 행렬식을 계산하여 3 × 3 행렬의 역행렬을 찾는 방법을 다룹니다. 이 글의 뒷부분에서는 더 나은 이해를 위해 해결된 예도 찾을 수 있으며, 여기서 배운 내용을 확인할 수 있는 연습 문제도 제공됩니다.

내용의 테이블

• 3 × 3 행렬의 역행렬은 무엇입니까?
• 3 × 3 행렬의 역행렬을 찾는 방법은 무엇입니까?
• 3 × 3 행렬의 역행렬을 찾는 데 사용되는 요소
• 3 × 3 행렬 공식의 역수
• 행 연산을 사용하여 3 × 3 행렬의 역함수 찾기

3 × 3 행렬의 역행렬은 무엇입니까?

3 × 3 행렬의 역행렬은 원래 행렬을 곱하면 단위 행렬이 되는 행렬입니다. 역행렬을 찾으려면 수반 행렬을 계산하고 행렬식(0이 아니어야 함)을 확인하여 행렬이 역행렬(비특이)인지 확인한 다음 공식 A를 적용하면 됩니다.^-1= (형용사 A) / (det A). 역행렬을 사용하면 선형 방정식 시스템을 풀고 다양한 수학 연산을 수행할 수 있습니다.

3 × 3 행렬의 역행렬을 찾는 방법은 무엇입니까?

3 × 3 행렬의 역행렬을 찾으려면 아래 단계를 따르십시오.

1 단계: 먼저 행렬이 반전될 수 있는지 확인합니다. 이를 수행하려면 행렬의 행렬식을 계산하십시오. 행렬식이 0이 아니면 다음 단계로 진행합니다.

2 단계: 더 큰 행렬 내에서 더 작은 2 × 2 행렬의 행렬식을 계산합니다.

3단계: 보조인자 행렬을 만듭니다.

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4단계: 보조인자 행렬을 전치하여 행렬의 Adjugate 또는 Adjoint를 구합니다.

5단계: 마지막으로, 보조 행렬의 각 요소를 원래 3x3 행렬의 행렬식으로 나눕니다.

관련 읽기

• 행렬의 보조 인자와 부 인자
• 행렬의 전치

3 × 3 행렬의 역행렬을 찾는 데 사용되는 요소

3 × 3 행렬의 역행렬을 찾는 데 주로 두 가지 요소가 사용됩니다.

• 매트릭스의 수반
• 행렬의 행렬식

3 × 3 매트릭스의 인접

그만큼 행렬의 수반 A는 A의 보조인자 행렬의 전치를 취하여 구합니다. 행렬의 수반을 자세히 계산하려면 제공된 지침을 따르십시오.

3 × 3 행렬의 경우 모든 요소의 보조인자는 다음과 같습니다. 결정자 해당 요소를 포함하는 행과 열을 제거하여 형성된 2 × 2 행렬입니다. 보조 인자를 찾을 때 양수 부호와 음수 부호를 번갈아 사용합니다.

예를 들어, 행렬 A가 주어지면:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Minor 행렬은 다음과 같이 구해집니다.

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

대각선으로 곱하고 왼쪽에서 오른쪽으로 곱을 빼서 형성된 2 × 2 행렬의 행렬식을 계산합니다(예: Minor).

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

따라서 보조인자 행렬은 다음과 같습니다.

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

보조 인자 행렬을 전치함으로써 우리는 수반 행렬을 얻습니다.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

3 × 3 행렬의 행렬식

위에서 논의한 것과 동일한 예를 사용하여 행렬 A의 행렬식을 계산할 수 있습니다.

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

첫 번째 행을 사용하여 행렬의 행렬식을 계산합니다.

문자열을 열거형으로 변환

Det A = 2(공인수 2) + 1(공인수 1) + 3(공인수 3)

A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

즉 A = 2 + 4 – 6

즉 A = 0

당신은 확인할 수 있습니다 3×3 행렬의 행렬식을 계산하는 트릭

3 × 3 행렬 공식의 역수

3 × 3 행렬 A의 역함수를 찾으려면 공식 A-1 = (adj A) / (det A)를 사용할 수 있습니다.

• adj A는 A의 수반 행렬입니다.
• det A는 A의 행렬식입니다.

A-1이 존재하려면 det A가 0이 아니어야 합니다. 이는 다음을 의미합니다.

• ㅏ^-1det A가 0이 아닐 때(A는 비특이) 존재합니다.
• ㅏ^-1det A가 0일 때(A는 특이점) 존재하지 않습니다.

동일한 예를 사용하여 3 × 3 행렬의 역행렬을 찾는 단계는 다음과 같습니다.

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

1 단계: 수반 행렬(adj A)을 계산합니다.

수반 행렬을 찾으려면 A의 요소를 해당 보조 인자로 바꾸십시오.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

2 단계: A의 행렬식(det A)을 구합니다.

A의 행렬식을 계산하려면 3 × 3 행렬의 공식을 사용할 수 있습니다. 이 경우 det A = -8입니다.

3단계: 공식 A 적용^-1= (adj A) / (det A) 역행렬 A 찾기^-1.

수반 행렬의 각 요소를 A의 행렬식으로 나눕니다.

ㅏ ^-1 = 조정 A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

끈으로 길게

분수를 단순화하면,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

행 연산을 사용하여 3 × 3 행렬의 역함수 찾기

3×3 행렬의 역행렬을 찾으려면 다음 단계를 따르세요.

1 단계: 주어진 3×3 행렬 A로 시작하여 동일한 크기의 단위 행렬 I를 만듭니다. A는 증대 행렬의 왼쪽에, I는 오른쪽에 선으로 구분됩니다.

2 단계: 일련의 행 연산을 왼쪽에 있는 추가 행렬에 적용하여 단위 행렬 I로 변환합니다. 선의 오른쪽에 있는 행렬은 A가 됩니다.^-1는 원래 행렬 A의 역행렬입니다.

더 알아보기, 행렬의 기본 연산

또한 확인하세요

• 행렬 유형
• 가역 매트릭스
• 매트릭스의 추적

3 × 3 행렬의 역행렬에 대한 해결된 예

예 1: 역함수 구하기

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

해결책:

D의 보조 행렬 = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

D의 보조 행렬 =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

행렬의 보조 인자, 즉 X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

행렬 X의 전치 = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

이제 첫 번째 행을 사용하여 D의 행렬식을 찾습니다.

D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ 그 D = 6+0+14

⇒ 그 D = 20

행렬 D 또는 D의 역행렬^-1= 조정 D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

예 2: 역함수 구하기

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

매트릭스 E의 마이너 =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

행렬 E의 보조 인자, 즉 X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

조정 E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

이제 첫 번째 행을 사용하여 행렬 E의 행렬식을 구해 보겠습니다.

미세석핵

E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

E= -1 + 0 + 1

즉 E = 0

∴ 행렬 E의 행렬식은 0과 같으므로 행렬 E 또는 E의 역행렬은^-1불가능합니다.

3 × 3 역행렬에 대한 연습 문제

Q1. 다음 3×3 행렬의 역함수를 계산합니다.

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. 행렬 B의 역행렬을 구합니다.

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. 행렬 C가 가역인지 확인하고, 그렇다면 역행렬을 찾으세요.

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. 행렬 D의 역행렬을 계산합니다.

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. 행렬 E의 경우 역행렬인지 확인하고 역행렬을 찾으세요.

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

3×3 행렬의 역 – FAQ

1. 3×3 행렬의 역행렬은 무엇입니까?

3×3 행렬의 역행렬은 원래 행렬을 곱하면 단위 행렬이 생성되는 또 다른 행렬입니다.

2. 역수를 찾는 것이 왜 중요한가요?

선형 방정식, 변환 및 다양한 수학 연산 시스템을 해결하는 데 필수적입니다.

3. 3×3 행렬의 역함수는 어떻게 계산하나요?

일반적으로 수반 행렬을 찾고, 행렬식의 0이 아닌 값을 확인하고, 특정 수식을 적용합니다.

4. 3×3 행렬의 역행렬이 존재하지 않는 경우는 언제입니까?

행렬식의 행렬식이 0일 때는 존재하지 않으므로 특이점이 됩니다.

5. 3×3 행렬은 역행렬을 가질 수 있나요?

아니요, 0이 아닌 행렬식을 갖는 비특이 행렬만이 역행렬을 가집니다.

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6. 역행렬을 찾는 데 Adjoint Matrix의 역할은 무엇입니까?

수반 행렬은 각 요소에 대한 보조인자를 제공하여 역행렬을 계산하는 데 도움이 됩니다.

7. 3×3 행렬 역산 개념은 어떤 분야에서 널리 사용되고 있나요?

3×3 매트릭스 반전의 개념은 공학, 물리학, 컴퓨터 그래픽 및 다양한 수학 분야에서 사용됩니다.

8. 3×3 행렬의 역행렬을 구하는 방법은 무엇입니까?

3×3 행렬의 역함수를 찾으려면 다음 단계를 따르세요.

• 먼저 행렬의 행렬식을 계산합니다.
• 행렬식이 0이 아닌 경우 다음 단계로 진행합니다. 0이면 행렬에 역행렬이 없습니다.
• 초점을 맞추고 있는 요소의 행과 열을 제외하고 원본 행렬의 각 요소에 대해 3×3 행렬을 생성하여 미성년자 행렬을 찾습니다.
• 미성년자 행렬의 요소에 더하기 및 빼기 기호 패턴을 적용하여 보조인자 행렬을 계산합니다.
• 행을 열로 교체하여 보조 인자 행렬을 전치합니다.
• 마지막으로, 전치된 보조인자 행렬을 행렬식으로 나누어 3×3 행렬의 역행렬을 얻습니다.