매트릭스의 순위 열로 구성된 벡터 공간의 차원으로 정의됩니다. 매트릭스의 순위 은 방정식 시스템에 대한 해를 찾을 수 있는지 여부를 알 수 있도록 도와주기 때문에 선형 대수학 분야에서 매우 중요한 개념입니다. 행렬의 순위는 또한 벡터 공간의 차원을 아는 데 도움이 됩니다.
이 기사에서는 행렬의 순위 개념, 정의, 행렬의 순위 계산 방법, nullity 및 순위와의 관계를 포함하여 자세히 살펴봅니다. 또한 행렬의 순위를 기반으로 몇 가지 문제를 해결하는 방법도 알아봅니다. 먼저 행렬의 순위 정의부터 시작하겠습니다.
내용의 테이블
매트릭스의 순위란 무엇입니까?
행렬의 순위는 선형 대수학의 기본 개념으로, 모든 행렬에서 선형 독립 행 또는 열의 최대 수를 측정합니다. 즉, 행렬의 행이나 열 중 얼마나 많은 것이 유용하지 않고 행렬의 전체 정보나 차원에 기여하는지 알려줍니다. 매트릭스의 순위를 정의해 보겠습니다.
행렬 정의의 순위
행렬의 순위는 행렬의 선형 독립 행 수로 정의됩니다. 행렬 .
인.넥스트 자바
이는 A가 임의의 행렬인 ρ(A)를 사용하여 표시됩니다. 따라서 행렬의 행 수는 행렬의 순위에 대한 제한입니다. 즉, 행렬의 순위는 행렬의 전체 행 수를 초과할 수 없습니다.
예를 들어, 행렬이 3×3 순서인 경우 행렬의 최대 순위는 3이 될 수 있습니다.
메모: 행렬에 요소가 0인 모든 행이 있는 경우 행렬의 순위는 0이라고 합니다.
매트릭스의 무효성
주어진 행렬에서 영공간에 있는 벡터의 개수를 행렬의 영성(nullity)이라고 부르거나, 주어진 행렬의 영공간의 차원으로 정의할 수도 있습니다.
행렬의 총 열 = 순위 + Nullity
자세히 알아보기 순위 무효 정리 .
행렬의 순위를 계산하는 방법은 무엇입니까?
주어진 행렬의 순위를 얻는 데 사용할 수 있는 3가지 방법이 있습니다. 이러한 방법은 다음과 같습니다.
- 마이너 메소드
- 에셜론 양식 사용
- 정규형 사용
이러한 방법에 대해 자세히 논의해 보겠습니다.
마이너 메소드
전제 조건: 매트릭스의 미성년자
마이너 방법을 사용하여 행렬의 순위를 찾으려면 다음 단계를 따르십시오.
- 행렬의 행렬식(예: A)을 계산합니다. det(A) ≠ 0이면 행렬 A의 순위 = 행렬 A의 차수입니다.
- det(A) = 0이면 행렬의 순위는 행렬의 0이 아닌 마이너 최대값의 차수와 같습니다.
마이너 메소드를 사용하여 행렬의 순위를 구하는 방법을 알아봅시다.
예: 행렬의 순위 찾기
주어진
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}
- 1단계: A의 행렬식 계산
그것(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)
그것(A) = -13 + 28 + 9 = 24
- det(A) ≠ 0이므로 ρ(A) = A 차수 = 3
에셜론 양식 사용
행렬의 차수가 매우 크면 부 방법은 매우 지루해집니다. 따라서 이 경우에는 행렬을 Echelon Form으로 변환합니다. 에 있는 매트릭스 상부 삼각형 형태 또는 하부 삼각형 형태 에셜론 형태로 간주됩니다. 행렬은 다음을 사용하여 Echelon 형태로 변환될 수 있습니다. 기본 행 연산 . Echelon 형식을 사용하여 행렬의 순위를 계산하려면 다음 단계를 따릅니다.
- 주어진 행렬을 사다리꼴 형태로 변환합니다.
- 행렬의 에셜론 형태에서 얻은 0이 아닌 행의 개수가 행렬의 순위입니다.
마이너 메소드를 사용하여 행렬의 순위를 구하는 방법을 알아봅시다.
예: 행렬의 순위 찾기
주어진
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}
- 1단계: A를 사다리꼴 형태로 변환
R을 적용하다2= R2– 4R1
R을 적용하다삼= R삼– 7R1
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix} R을 적용하다삼= R삼– 2R2
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix} 행렬 A는 이제 하부 삼각 형태이므로 사다리꼴 형태입니다.
- 2단계: A에서 0이 아닌 행의 수 = 2. 따라서 ρ(A) = 2
정규형 사용
행렬이 다음 형식으로 축소될 수 있으면 정규 형식이라고 합니다.
마이너 메소드를 사용하여 행렬의 순위를 구하는 방법을 알아봅시다.
예: 행렬의 순위 찾기
주어진
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix} R을 적용하다2= R2– R1, R삼= R삼– 2R1그리고 R4= R4– 3R1
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix} 자바에서 정렬된 배열R을 적용하다1= R1– 2R2그리고 R4= R4– R2
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} R을 적용하다1= R1+ R삼그리고 R2= R2– R삼
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} C를 적용4→ 다4-2C1
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} 따라서 A는 다음과 같이 쓸 수 있다.
egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .따라서 ρ(A) = 3
행렬 순위의 속성
행렬의 순위 속성은 다음과 같습니다.
- 행렬의 순위는 비특이 행렬인 경우 행렬의 차수와 같습니다.
- 행렬의 순위는 행렬 형태인 경우 0이 아닌 행의 수와 같습니다.
- 행렬의 순위는 정규 형식인 경우 단위 행렬의 차수와 같습니다.
- 행렬의 순위
- 행렬의 순위
- 단위 행렬의 순위는 단위 행렬의 차수와 같습니다.
- 영행렬 또는 널행렬의 순위는 0입니다.
더 읽어보기,
- 행렬 유형
- 행렬의 전치
- 역행렬
행렬 순위의 예
그리고 예제 1: 행렬의 순위 찾기
해결책:
주어진
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix} 1단계: A의 행렬식 계산
it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)
그것(A) = 13 – 28 – 9 = -24
det(A) ≠ 0이므로 ρ(A) = A 차수 = 3
예제 2. 행렬의 순위 찾기
해결책:
주어진
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix} 1단계: A의 행렬식 계산
그것(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)
그것(A) = -384 + 672 – 72 = 216
det(A) ≠ 0이므로 ρ(A) = A 차수 = 3
예제 3. 행렬의 순위 찾기
문자열을 int로 자바
해결책:
주어진
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix} 1단계: A를 사다리꼴 형태로 변환
R을 적용하다2= R2– 4R1
R을 적용하다삼= R삼– 7R1
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix} R을 적용하다삼= R삼– 2R2
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix} 행렬 A는 이제 하부 삼각 형태이므로 사다리꼴 형태입니다.
2단계: A에서 0이 아닌 행의 수 = 2. 따라서 ρ(A) = 2
예제 4. 행렬의 순위 찾기
해결책:
주어진
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix} 1단계: A를 사다리꼴 형태로 변환
R을 적용하다2= R2– 4R1
R을 적용하다삼= R삼– 7R1
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix} R을 적용하다삼= R삼– 2R2
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix} 행렬 A는 이제 하부 삼각 형태이므로 사다리꼴 형태입니다.
2단계: A에서 0이 아닌 행의 수 = 2. 따라서 ρ(A) = 2
예제 5. 행렬의 순위 찾기
해결책:
주어진
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix} R을 적용하다2= R2– R1, R삼= R삼– 2R1그리고 R4= R4– 3R1
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix} R을 적용하다1= R1– 2R2R4 = R4– R2
A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} R을 적용하다1= R1+ R삼그리고 R2= R2– R삼
A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} C를 적용4→ 다4-2C1
A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} R을 적용하다1= R1/2, R2= R2/2, R삼= R삼/2
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} 따라서 A는 다음과 같이 쓸 수 있다.
egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} 따라서 ρ(A) = 3
매트릭스의 순위 – FAQ
행렬의 순위를 정의합니다.
행렬의 순위는 행렬의 선형 독립 행 수로 정의됩니다. 이는 ρ(A)를 사용하여 표시됩니다. 여기서 A는 임의의 행렬입니다.
행렬의 순위를 찾는 방법은 무엇입니까?
행렬의 순위는 다음과 같은 다양한 방법을 사용하여 계산할 수 있습니다.
- 마이너 메소드
- 계층형 형태 사용
- 정규형 사용
행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 행렬의 순위는 무엇입니까?
행렬의 행렬식이 0이면 행렬의 순위는 행렬의 차수와 같습니다.
매트릭스는 언제 에셜론 형태라고 말합니까?
상부삼각행렬이나 하부삼각행렬을 사다리꼴 행렬이라고 한다.
행렬의 정규형이란 무엇입니까?
다음과 같이 쓸 수 있으면 행렬이 정규 형식이라고 합니다.
egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} 내가 어디에아르 자형는 'r' 차수의 단위 행렬입니다.
널 매트릭스의 순위는 무엇입니까?
널 행렬의 순위는 0입니다.
단위 행렬의 순위는 무엇입니까?
단위 행렬의 순위는 행렬의 차수와 같습니다.
지원하다
Nullity와 행렬의 순위 사이의 관계는 무엇입니까?
행렬의 nullity와 순위 사이의 관계는 다음과 같습니다.
행렬의 총 열 = 순위 + Nullity