사다리꼴 규칙: 정의, 공식, 예 및 FAQ

사다리꼴 규칙은 적분의 기본 정의를 정의하는 데 사용되는 적분의 기본 규칙 중 하나입니다. 널리 사용되는 규칙이며 사다리꼴 규칙은 곡선을 직사각형 대신 작은 사다리꼴로 나누어 곡선 아래의 면적을 제공하기 때문에 그렇게 명명되었습니다.

일반적으로 곡선 아래의 면적은 면적을 더 작은 직사각형으로 나눈 다음 모든 직사각형의 합을 구하는 방식으로 구하지만, 사다리꼴 법칙에서는 곡선 아래의 면적을 사다리꼴로 나눈 다음 그 합을 계산합니다. 사다리꼴 법칙은 수치해석에서 정적분의 값을 찾는 데 사용됩니다. 이 규칙은 사다리꼴 규칙 또는 사다리꼴 규칙이라고도 합니다. 이 기사에서 사다리꼴 규칙, 공식 및 증명, 예 및 기타 사항에 대해 자세히 알아 보겠습니다.

사다리꼴 법칙이란 무엇입니까?

사다리꼴 법칙은 다음 형식의 정적분 값을 구하는 데 사용되는 법칙입니다.^비∫_ㅏ에프엑스(f(x))dx. 우리는 정적분의 값이^비∫_ㅏf(x) dx는 곡선 y = f(x)와 x축의 구간 a와 b의 x축 아래에 둘러싸인 면적입니다. 전체 면적을 여러 개의 작은 직사각형으로 나눈 다음 그 합을 구하여 이 면적을 계산합니다.

이름에서 알 수 있듯이 사다리꼴 규칙에서는 곡선 아래의 면적을 여러 개의 사다리꼴로 나눈 다음 그 합을 구하여 곡선의 면적을 얻습니다. 사다리꼴 규칙은 심슨의 법칙보다 곡선 아래 면적에 대한 최상의 근사치를 제공하지 않지만 결과는 충분히 정확하며 이 규칙은 미적분학에서 널리 사용되는 규칙입니다.

숫자로 된 'abc'

사다리꼴 규칙 공식

사다리꼴 법칙 공식은 곡선 아래의 면적을 구하는 데 사용되는 공식입니다. 이제 사다리꼴 법칙을 사용하여 곡선 아래의 면적을 구하려면,

y = f(x)를 닫힌 구간 [a, b]에 정의된 연속 곡선으로 둡니다. 이제 닫힌 구간 [a, b]를 n개의 동일한 하위 구간으로 나눕니다. 각 하위 구간의 너비는 다음과 같습니다.

Δx = (b – a)/n

그런,

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_N=b

이제 사다리꼴 규칙 공식을 사용하여 곡선 아래의 면적을 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

∫^비_ㅏf(x) dx = 곡선 아래 면적 = (Δx/2) [y₀+ 2 (그리고₁+ 및₂+ 및_삼+ ….. + 그리고_n-1) + y_N]

어디, y₀, 그리고₁, 그리고₂,… 그리고_N는 각각 x = 1, 2, 3, ….., n에서의 함수 값입니다.

사다리꼴 규칙 공식 도출

곡선 아래 면적을 계산하는 사다리꼴 법칙 공식은 곡선 아래 면적을 여러 개의 사다리꼴로 나눈 다음 그 합을 구함으로써 도출됩니다.

성명:

f(x)를 구간 (a, b)에 정의된 연속 함수로 둡니다. 이제 간격 (a, b)를 n개의 동일한 하위 간격으로 나눕니다. 여기서 각 간격의 너비는 다음과 같습니다.

Δx = (b – a)/n

a = x가 되도록₀ ₁ ₂ _삼<…..< x_N=b

그러면 사다리꼴 규칙 공식은 다음과 같습니다.

∫^비_ㅏf(x) dx ≒ △x/2 [f(x)₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x)_N)]

어디서, x_나= a + iΔx

n → 인 경우, 표현식의 R.H.S는 정적분을 제공합니다. $int_{a}^{b}f(x)dx$

증거:

이 공식은 위 그림과 같이 주어진 곡선 아래의 면적을 다양한 사다리꼴로 나누어 증명됩니다. 첫 번째 사다리꼴의 높이는 Δx이고 평행한 밑면의 길이는 f(x)입니다.₀) 및 f(x)₁)

첫 번째 사다리꼴의 면적 = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x)₁)]

마찬가지로 나머지 사다리꼴의 면적은 (1/2)Δx [f(x₁) + f(x)₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x)_삼)], 등등.

이제 우리는 이렇게 말할 수 있습니다.

∫^비_ㅏf(x) dx ≒ (1/2)Δx (f(x)₀)+에프(엑스₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+에프(엑스₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+에프(엑스_삼) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x)_N) )

단순화한 후에 우리는 다음을 얻습니다.

∫^비_ㅏf(x) dx ≒ (Δx/2) (f(x₀)+2에프(엑스₁)+2에프(엑스₂)+2에프(엑스_삼)+ … +2f(x_n-1) + f(x)_N))

따라서 사다리꼴 법칙이 증명됩니다.

사다리꼴 규칙을 적용하는 방법은 무엇입니까?

사다리꼴 법칙은 곡선 아래의 면적을 다양한 사다리꼴로 나눈 다음 모든 사다리꼴의 합을 구하여 곡선 아래의 면적을 구합니다. 사다리꼴 규칙은 2차 근사를 사용하므로 정적분 값의 완벽한 근사가 아닙니다.

우리는 정적분 ∫의 값을 찾아야 합니다.^비_ㅏ에프엑스(f(x)dx) 정적분의 값은 아래 단계에 따라 사다리꼴 법칙을 사용하여 계산할 수 있습니다.

1 단계: 하위 간격 n과 간격 a 및 b의 값을 표시합니다.

2 단계: 공식 △x = (b – a)/n을 사용하여 하위 구간(Δx)의 너비를 찾습니다.

3단계: 사다리꼴 법칙 공식에 모든 값을 대입하고 정적분 ∫을 나타내는 주어진 곡선의 대략적인 면적을 구합니다.^비_ㅏ에프엑스(f(x)) dx

∫ ^비 _ㅏ f(x) dx ≒ (Δx/2) (f(x ₀ )+2에프(엑스 ₁ )+2에프(엑스 ₂ )+2에프(엑스 _삼 )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x) _N ))

어디, 엑스 _나 = a + iΔx

사다리꼴 법칙의 합산 표기법

우리는 사다리꼴의 면적이 기본적으로 평행한 변의 길이에 높이를 곱한 평균이라는 것을 알고 있습니다. 따라서 이 경우 i에 대한 사다리꼴을 고려하십시오.^일간격,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

총면적은 모든 면적의 합이므로,

A = A₁+ 에₂+ ….+ 에이_N

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

이것을 시그마 표기법 또는 사다리꼴 합의 합 표기법이라고 합니다.

리만 합계

리만은 곡선 아래 영역을 여러 직사각형 부분으로 분할하는 아이디어에 대한 작업을 요약합니다. 직사각형의 수가 증가할수록 해당 영역은 현재 영역에 점점 더 가까워집니다. 아래 그림에는 함수 f(x)가 있습니다. 이 기능 아래의 영역은 여러 개의 직사각형으로 나뉩니다. 곡선 아래의 전체 면적은 모든 직사각형 면적의 합입니다.

위 그림에서 직사각형의 오른쪽 끝이 곡선에 닿아 있습니다. 이것을 오른쪽 리만 합(right-Riemann sum)이라고 합니다.

또 다른 경우에는 아래 이미지와 같이 직사각형의 왼쪽 끝이 곡선에 닿을 때 이를 왼쪽 리만 합이라고 합니다.

위에서 언급한 것처럼 Δx가 간격의 너비라고 가정하고 너비 n은 간격의 개수입니다. 그런 다음 합계로 표시되는 곡선의 면적은 다음과 같이 주어진다.

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

중간점 합계

리만 합에서는 직사각형의 왼쪽 끝이나 오른쪽 끝이 곡선에 닿습니다. 이 경우 직사각형의 중간 점이 곡선에 닿습니다. 그 밖의 모든 것은 리만의 합과 같습니다. 아래 그림은 함수 f(x)와 중간 점 합계의 다양한 직사각형을 보여줍니다.

A라고 해보자_나i의 면적을 나타낸다.^일직사각형. 이 경우 이 직사각형의 면적은 다음과 같습니다.

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

이제 합계 표기법의 전체 면적은 다음과 같이 주어집니다.

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})델타 x}$

더 읽어보기,

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사다리꼴 규칙에 대한 해결된 예

예 1: x = 0에서 x = 4 사이에서 4개의 간격으로 함수 f(x)로 둘러싸인 영역을 찾습니다.

에프(엑스) = 4

해결책:

여기서 a = 0, b = 4, n = 4입니다.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 4에 대한 사다리꼴 규칙은 다음과 같습니다.
수정자 키

$T_n = frac{델타 x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

이 방정식의 값을 대체하면,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

예 2: x = 0에서 x = 3 사이를 3개의 간격으로 함수 f(x)로 둘러싸인 영역을 찾습니다.

에프(엑스) = 엑스

해결책:

여기서 a = 0, b = 3, n = 3입니다.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 3에 대한 사다리꼴 규칙은 다음과 같습니다.

$T_n = frac{델타 x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

이 방정식의 값을 대체하면,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

예 3: x = 0에서 x = 2 사이를 2개의 간격으로 함수 f(x)로 둘러싸인 영역을 찾습니다.

에프(엑스) = 2x

해결책:

여기서 a = 0, b = 2, n = 2입니다.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 2에 대한 사다리꼴 규칙은 다음과 같습니다.

$T_n = frac{델타 x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$
완전한 형태

이 방정식의 값을 대체하면,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

예제 4: x = 0에서 x = 3 사이에서 3개의 간격으로 함수 f(x)로 둘러싸인 영역을 찾습니다.

에프(엑스) = 엑스 ²

해결책:

여기서 a = 0, b = 3, n = 3입니다.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 3에 대한 사다리꼴 규칙은 다음과 같습니다.

$T_n = frac{델타 x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

이 방정식의 값을 대체하면,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

예제 5: x = 0에서 x = 4 사이에서 4개의 간격으로 함수 f(x)로 둘러싸인 영역을 찾습니다.

에프(엑스) = 엑스 ^삼 + 1

해결책:

여기서 a = 0, b = 4, n = 4입니다.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 4에 대한 사다리꼴 규칙은 다음과 같습니다.

$T_n = frac{델타 x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

이 방정식의 값을 대체하면,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) 오른쪽 화살표 T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) 오른쪽 화살표 T_n= 72$

예제 6: x = 0에서 x = 4 사이에서 4개의 간격으로 함수 f(x)로 둘러싸인 영역을 찾습니다.

에프(엑스) = 전자 ^엑스

해결책:

여기서 a = 0, b = 4, n = 4입니다.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 4에 대한 사다리꼴 규칙은 다음과 같습니다.

$T_n = frac{델타 x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

이 방정식의 값을 대체하면,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) 오른쪽 화살표 T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

사다리꼴 법칙의 응용

수치 적분:

사다리꼴 법칙의 주요 적용은 정적분을 근사화하는 것입니다. 함수의 통합이 어렵고 수치적 접근 방식이 더 실현 가능한 경우에 사용됩니다. 사다리꼴 규칙은 종종 고급 수치 적분 기술의 일부입니다.

물리학 및 공학:

물리학 및 공학에서는 변위, 속도, 가속도와 같은 양을 계산하기 위해 사다리꼴 규칙을 적용할 수 있습니다. 예를 들어 실험 데이터가 이산적인 시간 간격으로 수집되면 사다리꼴 규칙을 사용하여 곡선 아래 영역을 추정하여 적분의 근사치를 제공할 수 있습니다.

경제 및 금융:

사다리꼴 규칙은 재무 모델링에 적용되어 미래 현금 흐름의 현재 가치를 추정할 수 있습니다. 이는 투자의 순 현재 가치를 계산하는 것이 목표인 DCF(할인된 현금 흐름) 분석에 특히 유용합니다.

통계:

통계에서는 사다리꼴 규칙을 사용하여 확률 밀도 함수 또는 누적 분포 함수 하의 면적을 추정할 수 있습니다. 이는 분포의 정확한 형태를 알 수 없거나 복잡한 경우에 특히 유용합니다.

사다리꼴 법칙에 관한 FAQ

Q1: 사다리꼴 법칙이란 무엇입니까?

답변:

사다리꼴 법칙은 정적분을 구하는 데 사용되는 법칙으로, 곡선 아래의 면적을 여러 개의 사다리꼴로 나누고 각각의 면적을 구한 다음 그 합을 계산하여 정적분의 값을 구합니다.

Q2: 사다리꼴 규칙 공식은 무엇입니까?

답변:

사다리꼴 규칙 공식은 다음과 같습니다.

∫ ^비 _ㅏ f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2에프(엑스 ₁ )+2 에프(x) ₂ )+2에프(엑스 _삼 )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x) _N ))
array.from 자바

Q3: 사다리꼴 규칙 공식이라고 불리는 이유는 무엇입니까?

답변:

사다리꼴 법칙 공식은 곡선 아래의 면적을 여러 개의 사다리꼴로 나눈 다음 사다리꼴의 합을 구하여 면적을 계산하기 때문에 사다리꼴 법칙이라고 합니다.

Q4: 사다리꼴 규칙과 리만 합 규칙의 차이점은 무엇입니까?

답변:

사다리꼴 법칙과 리만 합 법칙의 주요 차이점은 사다리꼴 법칙은 곡선 아래의 면적을 사다리꼴로 나눈 다음 그 합을 취하여 면적을 구하는 반면, 리만 합은 곡선 아래의 면적을 사다리꼴과 그런 다음 그 합을 취하여 면적을 찾습니다.