삼각법적 항등식 삼각 함수와 관련된 다양한 복잡한 방정식을 단순화하는 데 사용되는 다양한 항등식입니다. 삼각법은 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다. 이러한 관계는 6가지 비율의 형태로 정의됩니다. 삼각비 – sin, cos, tan, cot, sec 및 cosec.
확장된 방식으로 연구는 삼각형 요소를 형성하는 각도에 대해서도 연구됩니다. 논리적으로 삼각형의 속성에 대한 논의입니다. 삼각형을 푸는 것, 삼각형의 성질을 이용한 높이와 거리 영역의 물리적 문제 등이 모두 연구의 일부입니다. 또한 삼각 방정식의 해법을 제공합니다.
내용의 테이블
- 삼각법 정체성이란 무엇입니까?
- 삼각법 항등식 목록
- 역삼각형 항등식
- 피타고라스의 삼각함수 항등식
- 삼각비 항등식
- 반대 각도의 삼각법적 동일성
- 보완 각도 항등식
- 보각 항등식
- 삼각 함수의 주기성
- 합과 차이 항등식
- 이중 각도 항등식
- 반각 공식
- 더 많은 반각 항등식
- 제품 합계 ID
- 제품 아이덴티티
- 삼중 각도 공식
- 삼각함수 증명
- 삼각형의 각과 변의 관계
- 삼각 항등식에 대한 FAQ
삼각법 정체성이란 무엇입니까?
각도의 삼각비를 포함하는 방정식이 각도의 모든 값에 대해 참이면 삼각 항등식이라고 합니다. 이는 삼각 함수가 표현식이나 방정식에 포함될 때마다 유용합니다. 6가지 기본 삼각비는 다음과 같습니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트 . 이러한 삼각비는 모두 직각삼각형의 인접변, 대변, 빗변 등의 변을 사용하여 정의됩니다.
삼각법적 항등식
삼각법 항등식 목록
모든 삼각비를 포함하는 삼각법 연구에는 많은 항등식이 있습니다. 이러한 아이덴티티는 학문적 환경은 물론 실생활 전반의 다양한 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 기본 및 고급 삼각함수 항등식을 모두 배워보겠습니다.
역삼각형 항등식
모든 삼각비에는 한 쌍의 비율 사이에 다음과 같은 역관계가 존재합니다.
- 사인 θ = 1/코초 θ
- cosec θ = 1/sin θ
- cos θ = 1/초 θ
- 초 θ = 1/cos θ
- tan θ = 1/cot θ
- cot θ = 1/tan θ
피타고라스의 삼각함수 항등식
피타고라스 삼각법 항등식은 직삼각형 정리 또는 피타고라스 정리 이며 다음과 같습니다.
- 없이2θ + cos2θ = 1
- 1 + 그래서2θ = 초2나
- 코섹2θ = 1 + 유아용 침대2나
자세히 알아보기 피타고라스의 삼각함수 항등식 .
삼각비 항등식
tan과 cot는 sin과 cos의 비율로 정의되며, 이는 다음과 같은 항등식으로 제공됩니다.
- 탄젠트 θ = 사인 θ/코사인 θ
- cot θ = cos θ/sin θ
반대 각도의 삼각법적 동일성
삼각법에서 시계 방향으로 측정된 각도는 음의 패리티로 측정되며 각도의 음의 패리티에 대해 정의된 모든 삼각법 비율은 다음과 같이 정의됩니다.
- 죄 (-θ) = -죄 θ
- cos (-θ) = cos θ
- 탄(-θ) = -탄 θ
- cot (-θ) = -cot θ
- 초(-θ) = 초 θ
- 코초 (-θ) = -cosec θ
보완 각도 항등식
보완 각도 는 합이 90°가 되는 각도 쌍입니다. 이제 보각의 삼각함수 항등식은 다음과 같습니다.
- 사인(90° – θ) = cos θ
- cos (90° – θ) = 사인 θ
- 황갈색(90° – θ) = cot θ
- cot (90° – θ) = tan θ
- 초(90° – θ) = 코초 θ
- 코초(90° – θ) = 초 θ
보각 항등식
보각은 합이 180°가 되는 각도 쌍입니다. 이제 보각에 대한 삼각법 항등식은 다음과 같습니다.
- 죄(180°- θ) = 죄θ
- cos (180°- θ) = -cos θ
- 코초 (180°- θ) = 코초 θ
- 초(180°- θ)= -초 θ
- 탄(180°- θ) = -tan θ
- cot (180°- θ) = -cot θ
삼각 함수의 주기성
삼각함수 sin, cos, tan, cot, sec 및 cosec과 같은 모든 것은 본질적으로 주기적이며 서로 다른 주기성을 갖습니다. 삼각비에 대한 다음 항등식은 주기성을 설명합니다.
- 죄(n × 360° + θ) = 죄 θ
- 죄(2nπ + θ) = 죄 θ
- cos (n × 360° + θ) = cos θ
- cos(2nπ + θ) = cos θ
- 탄(n × 180° + θ) = 탄(tan) θ
- 탄(nπ + θ) = 탄(tan) θ
- 코초(n × 360° + θ) = 코초 θ
- 코초(2nπ + θ) = 코초 θ
- 초(n × 360° + θ) = 초 θ
- 초(2nπ + θ) = 초 θ
- cot (n × 180° + θ) = cot θ
- cot (nπ + θ) = cot θ
여기서, n ∈ 와 함께, (Z = 모든 정수의 집합)
메모: sin, cos, cosec 및 sec의 주기는 360° 또는 2π 라디안이고 tan 및 cot 주기의 경우 180° 또는 π 라디안입니다.
합과 차이 항등식
합과 차이에 대한 삼각 항등식 각도에는 sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) 등과 같은 공식이 포함됩니다.
- 죄 (A+B) = 죄 A cos B + cos A 죄 B
- 죄 (A-B) = 죄 A cos B – cos A 죄 B
- cos (A+B) = cos A cos B – 죄 A 죄 B
- cos (A-B) = cos A cos B + 죄 A 죄 B
- tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
- tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)
메모: 죄(A+B), 죄(A-B), cos(A+B), cos(A-B)에 대한 항등식은 다음과 같습니다. 프톨레마이오스의 정체성 .
이중 각도 항등식
각도의 합에 대한 삼각함수 항등식을 사용하여 이중각 항등식이라는 새로운 항등식을 찾을 수 있습니다. 이러한 항등식을 찾기 위해 각도 항등식의 합에 A = B를 넣을 수 있습니다. 예를 들어,
우리가 아는 죄(A+B) = 죄 A cos B + cos A 죄 B
여기서 양쪽에 A = B = θ를 대입하면 다음을 얻습니다.
죄 (θ + θ) = 죄θ cosθ + cosθ 죄θ
- 죄 2θ = 2 죄θ cosθ
비슷하게,
- cos 2θ = cos 2 θ – 죄 2 θ = 2코사인 2 θ – 1 = 1 – 죄 2 나
- tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan 2 나)
자세히 알아보기 이중 각도 항등식 .
반각 공식
이중각 공식을 사용하여 반각 공식을 계산할 수 있습니다. 반각 공식을 계산하려면 θ를 θ/2로 바꾸고,
sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}} cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}} an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}
자세히 알아보기 반각 항등식 .
더 많은 반각 항등식
위에서 언급한 항등식 외에도 다음과 같은 반각 항등식도 더 있습니다.
sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2} cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2} an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
제품 합계 ID
다음 항등식은 두 삼각비의 합과 두 삼각비의 곱 사이의 관계를 나타냅니다.
sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2} cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2} sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2} cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
제품 아이덴티티
각도 항등의 합과 차 중 두 개를 더하면 제품 항등이 형성되며 다음과 같습니다.
sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2} cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2} sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}
삼중 각도 공식
이중 및 반각 공식 외에도 삼중각에 대해 정의된 삼각비에 대한 항등식이 있습니다. 이러한 ID는 다음과 같습니다.
sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}
자세히 알아보기 삼중각 정체성 .
삼각함수 증명
임의의 예각 θ에 대해 다음을 증명하십시오.
- tanθ = sinθ/cosθ
- cotθ = cosθ/sinθ
- 탄θ . cotθ = 1
- 없이 2 θ + cos 2 θ = 1
- 1 + 그래서 2 θ = 초 2 나
- 1 + 유아용 침대 2 θ = 코초 2 나
증거:
∠B = 90°인 직각 △ABC를 생각해 보세요.
AB = x 단위, BC = y 단위, AC = r 단위라고 가정합니다.
그 다음에,
(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)
∴ tanθ = sinθ/cosθ
(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)
∴ cotθ = cosθ/sinθ
(삼) 탄θ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)
탄θ . cotθ = 1
그러면 피타고라스의 정리에 의해
엑스2+ 및2= r2.
지금,
(4) 없이2θ + cos2θ = (y/r)2+ (x/r)2= ( 그리고2/아르 자형2+ 엑스2/아르 자형2)
= (엑스2+ 및2)/아르 자형2= r2/아르 자형2= 1 [엑스2+ 및2= r2]
없이 2 θ + cos 2 θ = 1
(5) 1 + 그래서2θ = 1 + (y/x)2= 1 + 와이2/엑스2= (그리고2+ 엑스2)/엑스2= r2/엑스2[엑스2+ 및2= r2]
(r/x)2= 초2나
∴ 1 + 황갈색 2 θ = 초 2 나.
(6) 1 + 유아용 침대2θ = 1 + (x/y)2= 1 + 엑스2/그리고2= (엑스2+ 및2)/그리고2= r2/그리고2[엑스2+ 및2= r2]
(아르 자형2/그리고2) = 코초2나
∴ 1 + 유아용 침대 2 θ = 코초 2 나
삼각형의 각과 변의 관계
삼각형의 변과 삼각형의 내각을 연결하는 세 가지 규칙은 다음과 같습니다.
- 그의 통치
- 코사인 법칙
- 탄젠트 규칙
∠A, ∠B, ∠C의 반대편인 변 a, b, c가 있는 삼각형 ABC라면,
그의 통치
그의 규칙 변과 변의 반대각의 사인의 비인 삼각형의 변과 각도 사이의 관계는 삼각형의 모든 각도와 변에 대해 항상 동일하게 유지되며 다음과 같이 제공됩니다.
old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}
코사인 법칙
코사인 법칙 모든 변을 포함하며, 삼각형의 한 내각은 다음과 같이 주어진다:
old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}} 또는
old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}} 또는
old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}
탄젠트 규칙
- 탄젠트 법칙은 다음과 같은 tan 삼각비를 사용하여 삼각형의 변과 내각 사이의 관계를 기술합니다.
old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}} old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}} old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}
또한 읽어보세요
- 삼각법 높이 및 거리
- 삼각함수 테이블
삼각법적 항등식에 대한 해결된 예
예 1: 다음을 증명하십시오(1 – 죄 2 θ) 초 2 θ = 1
해결책:
우리는:
LHS = (1 – 죄2θ) 초2나
= 왜냐하면2θ . 비서2나
= 왜냐하면2θ . (1/cos2나)
=1
= RHS.
∴ LHS = RHS. [따라서 증명됨]
예시 2: (1 + tan)을 증명하세요 2 θ) 왜냐하면 2 θ = 1
해결책:
우리는:
LHS = (1 + 황갈색2θ)코사인2나
⇒ LHS = 초2θ . 코사인2나
⇒ LHS = (1/cos2θ) . 코사인2나
⇒ LHS = 1 = RHS.
∴좌측=우측. [따라서 증명됨]
예시 3: 이를 증명하세요(cosec 2 θ – 1) tan²θ = 1
해결책:
우리는:
LHS = (cosec²θ – 1) tan2나
⇒ LHS = (1 + 유아용 침대2θ – 1) 그래서2나
⇒ LHS = 유아용 침대2θ. 그래서2나
⇒ LHS = (1/탄2θ). 그래서2나
메모리 교환⇒ LHS = 1 = RHS.
∴좌측=우측. [따라서 증명됨]
예시 4: 이를 증명하세요(초 4 θ – 초 2 θ) = (황갈색 2 θ + 황갈색 4 나)
해결책:
우리는:
LHS = (초4θ – 초2나)
⇒ LHS = 초2θ(초2나 – 1)
⇒ LHS = (1 + 황갈색2θ) (1 + 황갈색2나 – 1)
⇒ LHS = (1 + 황갈색2θ) 그래서2나
⇒ LHS = (황갈색2θ + 황갈색4θ) = 우변
∴ LHS = RHS. [따라서 증명됨]
예제 5: √(sec)임을 증명하세요 2 θ + 코초 2 θ) = (tanθ + cotθ)
해결책:
우리는:
LHS = √(초2θ + 코초2θ ) = √((1 + tan2i) + (1 + 유아용 침대2나))
⇒ LHS = √(황갈색2θ + 유아용 침대2나는 + 2)
⇒ LHS = √(황갈색2θ + 유아용 침대2θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)
⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)2
⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS
∴ LHS = RHS [따라서 증명됨]
삼각함수 항등식에 대한 연습 문제
Q1: 표현을 단순화하라
Q2: tan(x) 항등식을 증명하세요. 침대(x) = 1.
Q3: 보여줘
Q4: 단순화하다
Q5: 신원을 증명하세요
Q6: 단순화하다
Q7: 신원을 증명하세요
삼각 항등식에 대한 FAQ
삼각 항등식이란 무엇입니까?
삼각 항등식은 sin, cos, tan, cot, sec 및 cosec과 같은 다양한 삼각 함수를 연결하는 방정식입니다.
삼각함수를 증명하는 방법은 무엇입니까?
삼각항등식을 증명하는 방법은 다양하며, 그 중 하나는 알려진 6개의 주요 삼각항등식을 사용하여 표현식을 다른 형식으로 다시 작성하는 것입니다. 다른 증명과 마찬가지로 우리는 한쪽을 사용하여 방정식의 다른 쪽과 동일한 표현식을 도출합니다.
삼각함수 항등식은 몇 개 있습니까?
많은 삼각법적 항등이 있습니다. 어떤 항등이든 약간의 변형이 있을 수 있기 때문에 여전히 항등식이기도 합니다. 따라서 정확히 몇 개의 ID가 있는지 말할 수 없습니다.
모든 삼각법 정체성을 기억하는 방법은 무엇입니까?
모든 정체성을 기억하는 가장 쉬운 방법은 정체성과 관련된 문제를 연습하는 것입니다. 어떤 정체성을 사용하여 문제를 해결할 때마다 그 정체성을 수정하게 되고 결국 그것은 당신에게 제2의 천성이 될 것입니다.
세 가지 주요 삼각함수를 작성하세요.
삼각법에 사용되는 세 가지 주요 함수는 사인(Sine), 코사인(Cosine), 탄젠트(Tangent)입니다.
sin θ = 수직/사변
cos θ = 밑변/빗변
tan θ = 수직/베이스
피타고라스 정리란 무엇입니까?
피타고라스 정리는 변이 빗변(H), 수직(P), 밑변(B)인 직각삼각형에서 이들 사이의 관계는 다음과 같이 표현됩니다.
(시간) 2 = (피) 2 + (B) 2
삼각함수 항등식의 용도를 쓰세요.
삼각법 항등식은 복잡한 삼각 함수와 관련된 다양한 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 파동 방정식, 고조파 발진기 방정식을 계산하고 기하학적 질문 및 기타 문제를 해결하는 데 사용됩니다.
8가지 기본 삼각 항등식을 작성하세요.
삼각법의 8가지 기본 항등식은 다음과 같습니다.
- 사인 θ = 1/코초 θ
- cos θ = 1/초 θ
- tan θ = 1/cot θ
- 없이2θ + cos2θ = 1
- tanθ = sinθ/cos θ
- 1+ 그래서2θ = 초2나
- cot θ = cosθ/sinθ
- 유아용 침대 1개 이상2θ = 코초2나