삼각 함수의 미분 sin, cos, tan, cot, sec 및 cosec과 같은 삼각 함수의 파생물입니다. 미분은 미적분학의 중요한 부분입니다. 이는 다른 수량에 대한 한 수량의 변화율로 정의됩니다. 삼각함수의 미분은 실생활에서 컴퓨터, 전자, 수학 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

이번 글에서는 삼각함수의 미분과 공식, 관련 증명, 응용에 대해 알아 보겠습니다. 또한 몇 가지 예를 풀고 삼각 함수의 차별화에 관한 일부 FAQ에 대한 답변을 얻을 것입니다. 삼각 함수의 미분이라는 주제에 대한 학습을 ​​시작하겠습니다.

차별화란 무엇인가?

함수의 미분은 임의의 변수에 대한 함수의 변화율입니다. 그만큼 유도체 f(x)의 f'(x) 또는 (d /dx)[f(x)]로 표시됩니다.

차별화 절차는 삼각함수 삼각함수의 미분이라고 부른다. 즉, 각도에 따른 삼각함수의 변화율을 구하는 것을 삼각함수 미분이라고 합니다.

6가지 기본 삼각 함수는 sin, cos, tan, cosec, sec 및 cot입니다. 우리는 공식과 증명을 통해 모든 삼각 함수의 도함수를 찾을 것입니다.

삼각 함수의 미분 규칙

6가지 기본 삼각 함수의 차별화는 다음과 같습니다.

아래 제공된 링크에서 이러한 6개 삼각 함수의 미분 증명을 확인할 수 있습니다.

삼각함수 공식의 미분 증명

위에서 모든 삼각 함수에 대한 공식에 대해 논의한 것처럼 이제 우리는 극한의 도움으로 도함수, 몫 규칙 및 연쇄 규칙의 첫 번째 원리를 사용하여 삼각 함수의 미분에 대한 위의 공식을 증명할 것입니다.

sin(x)의 미분

sin x의 도함수를 증명하기 위해 미분의 첫 번째 원리와 몇 가지 기본적인 삼각법 항등식 및 극한 공식을 사용할 것입니다. 증명에 사용되는 삼각법 항등식과 극한 공식은 다음과 같습니다.

1. 죄 (X + Y) = 죄 X cos Y + 죄 Y cos X
2. 임_x→0[sinx / x] = 1
3. 임_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

삼각함수 sin x의 미분에 대한 증명을 시작하겠습니다.

차별화의 첫 번째 원리에 따라

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [2와 3을 이용하여]

⇒ (d/dx) 사인 x = cos x

따라서 sin x의 미분은 cos x입니다.

cos(x)의 미분

cos x의 도함수를 증명하기 위해 우리는 미분의 첫 번째 원리와 몇 가지 기본적인 삼각법 항등식 및 극한 공식을 사용할 것입니다. 증명에 사용되는 삼각법 항등식과 극한 공식은 다음과 같습니다.

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – 죄 X 죄 Y
2. 임_x→0[sinx / x] = 1
3. 임_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

삼각함수 cos x의 미분에 대한 증명을 시작하겠습니다.

차별화의 첫 번째 원리에 따라

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = 한계_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = 한계_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = 한계_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(h/h 없음) x 없음]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [2와 3을 이용하여]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

따라서 cos x의 미분은 -sin x입니다.

tan(x)의 미분

tan x의 도함수를 증명하기 위해 우리는 몫의 법칙과 몇 가지 기본적인 삼각법 항등식 및 극한 공식을 사용할 것입니다. 증명에 사용되는 삼각법 항등식과 극한 공식은 다음과 같습니다.

1. 탄 x = 죄 x / cos x
2. 초 x = 1 / cos x
3. 코사인²x + 죄²엑스 = 1
4. (d/dx) 사인 x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

삼각함수 tan x의 미분에 대한 증명을 시작하겠습니다.

이후 (1)

탄 x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

몫의 법칙을 사용하여

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²엑스

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [4 및 5 기준]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + 죄²x] / 왜냐하면²엑스

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [3으로]

⇒ (d/dx) tan x = 초 ² 엑스 [2개 기준]

따라서 tan x의 미분은 sec입니다. ² 엑스.

cosec(x)의 미분

cosec x의 도함수를 증명하기 위해 우리는 체인 규칙과 몇 가지 기본 삼각 항등식 및 극한 공식을 사용할 것입니다. 증명에 사용되는 삼각법 항등식과 극한 공식은 다음과 같습니다.

1. cot x = cos x / 죄 x
2. cosec x = 1 / 죄 x
3. (d/dx) 사인 x = cos x

삼각함수 cosec x의 미분에 대한 증명을 시작하겠습니다.

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [By 2]

체인 규칙 사용

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) 사인 x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] 왜냐하면 x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [1과 2로]

따라서 cosec x의 미분은 – cosec x cot x입니다.

sec(x)의 미분

sec x의 도함수를 증명하기 위해 우리는 몫 규칙과 몇 가지 기본 방정식을 사용할 것입니다. 삼각법 정체성 그리고 한계 수식 . 증명에 사용되는 삼각법 항등식과 극한 공식은 다음과 같습니다.

1. 탄 x = 죄 x / cos x
2. 초 x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

삼각함수 sec x의 미분에 대한 증명을 시작하겠습니다.

(d/dx) sec x = (d/dx) [1 / cos x] [By 2]

체인 규칙 사용

(d/dx) 초 x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) 초 x = [-1 / cos²x] (-x 없음)

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⇒ (d/dx) 초 x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) 초 x = 초 x tan x [1과 2별]

따라서 sec x의 미분은 sec x tan x입니다.

cot(x)의 차별화

cot x의 도함수를 증명하기 위해 우리는 몫 규칙과 몇 가지 기본 삼각 항등식 및 극한 공식을 사용할 것입니다. 증명에 사용되는 삼각법 항등식과 극한 공식은 다음과 같습니다.

1. cot x = cos x / 죄 x
2. cosec x = 1 / 죄 x
3. 코사인²x + 죄²엑스 = 1
4. (d/dx) 사인 x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

삼각함수 cot x의 미분에 대한 증명을 시작해 보겠습니다.

이후 (1)

cot x = cos x / 죄 x

(d/dx) cot x = (d/dx)[cosx / sin x]

몫의 법칙을 사용하여

(d/dx) cot x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²엑스

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [4 및 5 기준]

⇒ (d/dx) cot x = [ -sin²x - 왜냐하면²x] / 죄²엑스

⇒ (d/dx) cot x = -[ 죄²x + 왜냐하면²x] / 죄²엑스

⇒ (d/dx) cot x = -1 / sin²x [3으로]

⇒ (d/dx) cot x = -cosec ² 엑스 [2개 기준]

따라서 cot x의 미분은 -cosec입니다. ² 엑스.

기타 삼각 함수 파생물

삼각함수의 미분은 연쇄법칙을 이용하여 쉽게 할 수 있습니다. 복잡한 삼각함수와 복합삼각함수는 다음과 같이 풀 수 있습니다. 연쇄 법칙 차별화의. 다음 제목에서 우리는 연쇄 법칙과 복합 삼각함수 미분에 대해 자세히 연구할 것입니다.

• 연쇄법칙을 이용한 미분
• 복합 삼각 함수의 미분

이러한 주제에 대해 자세히 논의해 보겠습니다.

연쇄법칙과 삼각함수

체인 규칙에 따르면 p(q(x))가 함수인 경우 이 함수의 도함수는 p(q(x))의 도함수와 q(x)의 도함수의 곱으로 제공됩니다. 체인 규칙은 구별하는 데 사용됩니다. 복합 기능 . 연쇄법칙은 복합삼각함수를 쉽게 구별하기 위해 주로 사용됩니다.

예: f(x) = tan 4x의 미분 구하기

해결책:

f(x) = 황갈색 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

체인 규칙을 적용하여

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (초²4x)(4)

복합 삼각 함수의 미분

복합 삼각 함수의 미분을 평가하기 위해 미분의 연쇄 규칙을 적용합니다. 복합 삼각 함수는 삼각 함수의 각도 자체가 함수인 함수입니다. 복합 삼각 함수의 미분은 연쇄 법칙과 삼각 함수의 미분 공식을 적용하여 쉽게 평가할 수 있습니다.

예: f(x) = cos(x)의 도함수 구하기 ² +4)

해결책:

에프(엑스) = 코사인(엑스²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x)²+4)

체인 규칙을 적용하여

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x)²+4)

역삼각함수란 무엇입니까?

그만큼 역삼각함수 삼각 함수의 역함수입니다. 6개의 역삼각 함수가 있습니다: sin^-1, 왜냐면^-1, 그래서^-1, 코섹^-1, 초^-1, 유아용 침대^-1. 역삼각함수는 호함수(arc function)라고도 합니다.

역삼각함수의 미분

6개의 역삼각함수의 미분은 다음과 같습니다.

예: f(x) = 3sin의 도함수 구하기 ^-1 x + 4cos ^-1 엑스

해결책:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1엑스]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1엑스]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [죄^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1엑스]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x)²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

삼각함수 미분에 대한 응용

실생활에서는 삼각함수 미분을 다양하게 적용할 수 있습니다. 삼각함수 미분의 응용은 다음과 같습니다.

• 삼각 함수의 미분을 사용하여 삼각 곡선의 접선과 법선의 기울기를 결정할 수 있습니다.
• 또한 함수의 최대값과 최소값을 결정하는 데에도 사용할 수 있습니다.
• 컴퓨터나 전자공학 분야에서도 사용됩니다.

또한 확인하세요

• 역삼각 미분
• 역도함수
• 미분 공식

삼각함수의 미분에 관한 샘플 문제

문제 1: f(x) = tan 2x의 도함수를 구합니다.

해결책:

f(x) = 황갈색 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

체인 규칙을 적용하여

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (초²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2초²2배

문제 2: y = cos x / (4x ² )

해결책:

y = cos x / (4x²)

몫의 법칙 적용

y' = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4배²)²

⇒ y' = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x)⁴)

자바 의사코드

⇒ y' = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y' = – (x sinx + 2cosx) / (4x^삼)

문제 3: 도함수 계산 f(x) = cosec x + x tan x

해결책:

f(x) = cosec x + x tan x

공식과 제품규칙을 적용하여

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²엑스

문제 4: 함수 f(x) = 6x의 도함수를 구합니다. ⁴ 왜냐하면 x

해결책:

에프(엑스) = 6x⁴왜냐하면 x

상품규칙을 적용하여

f'(x) = (d/dx) [6x⁴왜냐하면 x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x^삼왜냐하면 x + x⁴(-x 없음)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x^삼왜냐하면 x – x⁴x 없음]

⇒ f'(x) = 6x^삼[4cos x – x 죄 x]

문제 5: 도함수 계산: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

해결책:

f(x) = (x + cos x) (1 – 사인 x)

상품규칙을 적용하여

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – 죄 x) (1 – 죄 x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – 죄 x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + 죄²x - 2 sinx - x cosx - cos²엑스

삼각함수의 미분에 관한 연습 문제

문제 1: y = sin(x) + cos(x)의 도함수를 구합니다.

문제 2: y = 2sin(x) – 3cos(x)의 도함수를 계산합니다.

문제 3: y = 2sin(3x)의 도함수를 구합니다.

문제 4: y = tan(5x)의 도함수를 구합니다.

문제 5: y = sin(x) cos(x)의 도함수를 구합니다.

문제 6: y = cos의 미분 계산²(엑스).

문제 7: y = tan의 도함수 결정²(엑스).

문제 8: y = tan(x) sec(x)의 도함수를 구합니다.

삼각 함수의 차별화 FAQ

차별화란 무엇인가?

미분은 함수가 독립 변수에 대해 변경되는 비율을 계산하는 수학적 연산입니다.

삼각함수란 무엇입니까?

삼각 함수는 직각 삼각형의 각도를 변의 비율과 연관시키는 수학 함수입니다.

일반적인 삼각 함수란 무엇입니까?

일반적인 삼각 함수에는 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan), 코시컨트(cosec), 시컨트(sec) 및 코탄젠트(cot)가 포함됩니다.

삼각 함수의 미분을 정의합니다.

삼각함수를 미분하는 방법을 삼각함수 미분이라고 합니다.

사인 함수, 즉 sin(x)를 어떻게 구별합니까?

죄(x)의 미분은 cos(x)입니다. 수학적 표기법에서는 d/dx(sin(x)) = cos(x)입니다.

코사인 함수, 즉 cos(x)를 미분하면 무엇을 얻게 되나요?

cos(x)의 미분은 -sin(x)입니다. 수학적 표기법에서는 d/dx(cos(x)) = -sin(x)입니다.

탄젠트 함수, 즉 tan(x)를 어떻게 구별합니까?

tan(x)의 도함수는 sec입니다.²(x), 여기서 sec(x)는 시컨트 함수입니다. 수학적 표기법에서는 d/dx(tan(x)) = sec²(엑스).

삼각함수 미분 공식은 무엇입니까?

삼각 함수의 미분 공식은 다음과 같습니다.

• (d/dx) 사인 x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = 초²엑스
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) 초 x = 초 x 탄 x
• (d/dx) cot x = -cosec²엑스

삼각함수 미분의 예를 하나 들어보세요.

f(x) = 2sin(3x) 함수를 생각해 봅시다.

체인 규칙을 사용하면,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

삼각 함수의 미분을 유도하는 데 어떤 방법이 사용됩니까?

삼각함수 공식의 미분을 유도할 수 있는 다양한 방법은 다음과 같습니다.

• 파생상품의 제1원리를 이용하여
• 을 사용하여 몫의 법칙
• 체인 규칙을 사용하여

삼각 함수의 역미분이란 무엇입니까?

삼각함수의 역미분은 삼각함수의 적분을 찾는 것을 의미합니다.