그만큼 매트릭스의 역수 는 원래 행렬과 곱하면 단위 행렬이 되는 행렬입니다. 임의의 행렬 A에 대해 그 역행렬은 A로 표시됩니다.^-1.

역행렬에 대한 정의와 공식, 역행렬을 구하는 방법, 예제 등을 자세히 알아봅시다.

내용의 테이블

• 역행렬
• 역행렬과 관련된 용어
• 역행렬을 찾는 방법은 무엇입니까?
• 행렬 공식의 역함수
• 역행렬 방법
• 2×2 행렬의 역예제
• 역행렬의 행렬식
• 역행렬의 속성
• 역행렬 풀이 예

역행렬

역행렬은 주어진 행렬을 곱할 때 다음을 산출하는 또 다른 행렬입니다. 곱셈 항등식 .

행렬 A와 A의 역행렬의 경우^-1, 신원 속성이 유지됩니다.

이 기기에 숨겨진 앱

A.A ^-1 =A ^-1 A = 나

어디 나 단위 행렬입니다.

역행렬과 관련된 용어

아래 나열된 용어는 행렬의 역행렬을 보다 명확하고 쉽게 파악하는 데 도움이 됩니다.

특이행렬

행렬식의 값이 0인 행렬을 특이 행렬이라고 합니다. 즉, 모든 행렬 A는 |A| = 0. 특이행렬의 역행렬은 존재하지 않습니다.

비특이행렬

행렬식의 값이 0이 아닌 행렬을 비특이 행렬이라고 합니다. 즉, 모든 행렬 A는 |A| ≠ 0. 비특이행렬의 역행렬이 존재합니다.

단위 행렬

주대각선 요소를 제외하고 모든 요소가 0인 정사각 행렬을 단위 행렬이라고 합니다. 이는 I를 사용하여 표현됩니다. 이는 모든 행렬 A와 마찬가지로 행렬의 단위 요소입니다.

A×I=A

항등 행렬의 예는 다음과 같습니다.

나_3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

이것은 3×3 차의 단위행렬이다.

더 읽어보기 :

• 단위 행렬

역행렬을 찾는 방법은 무엇입니까?

수학에서 행렬의 역함수를 찾는 두 가지 방법이 있습니다.

• 행렬 공식 사용
• 역행렬 방법 사용

행렬 공식의 역함수

행렬 A의 역행렬, 즉 A^-1행렬의 수반을 행렬식으로 나누는 행렬 공식의 역을 사용하여 계산됩니다.

행렬 공식의 역함수

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

어디,

• 형용사 A = 행렬 A에 인접하고,
• |아| = 행렬 A의 행렬식

메모 : 이 공식은 정사각형 행렬에서만 작동합니다.

역행렬 공식을 사용하여 역행렬을 구하려면 다음 단계를 따르세요.

1 단계: 모든 A 요소의 마이너를 결정합니다.

2 단계: 다음으로, 모든 요소의 보조 인자를 계산하고 A의 요소를 해당 보조 인자로 대체하여 보조 인자 행렬을 만듭니다.

3단계: A의 보조인자 행렬을 전치하여 수반(adj A로 작성)을 찾습니다.

4단계: A의 행렬식의 역수를 adj A에 곱합니다.

이제, 비특이 정사각 행렬 A에 대해,

ㅏ ^-1 = 1 / |A| × 조정 (A)

예: 역행렬 찾기A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]공식을 사용합니다.

우리는A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

각 요소의 보조인자를 계산한 다음 보조인자 행렬의 전치값을 구하여 행렬 A의 수반점을 찾습니다.

형용사 A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

행렬식의 값을 구합니다.

|아| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)

⇒ |아| = 49

따라서 행렬의 역함수는 다음과 같습니다.

ㅏ^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ A^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

역행렬 방법

역행렬을 찾는 두 가지 역행렬 방법이 있습니다.

1. 행렬식 방법
2. 기본 변환 방법

방법 1: 행렬식 방법

역행렬을 찾는 가장 중요한 방법은 행렬식을 사용하는 것입니다.

역행렬은 다음 방정식을 사용하여 구할 수도 있습니다.

ㅏ ^-1 = 조정(A) / det(A)

어디,

• 조정(A) 는 행렬 A의 수반이고,
• 그것(A) 는 행렬 A의 행렬식입니다.

행렬 A의 수반 행렬을 찾으려면 A의 보조인자 행렬이 필요합니다. 그러면 수반(A)는 A의 보조인자 행렬의 전치입니다. 즉,

조정 (A) = [C _ij ] ^티

• 행렬의 보조인자 즉, C의 경우_ij, 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

씨 _ij = (-1) ^나+제이 그것(엠 _ij )

어디 중 _ij 을 말한다 (나, 제이) ^일 마이너 행렬 나 ^일 행과 제이 ^일 열이 제거됩니다.

방법 2: 기본 변환 방법

기본 변환 방법으로 역행렬을 찾으려면 아래 단계를 따르십시오.

1 단계 : 주어진 행렬을 A = IA로 작성합니다. 여기서 I는 A와 동일한 차수의 단위 행렬입니다.

2 단계 : LHS에서 단위 행렬이 달성될 때까지 행 연산 또는 열 연산의 시퀀스를 사용하고 RHS에서도 유사한 기본 연산을 사용하여 I = BA를 얻습니다. 따라서 RHS의 행렬 B는 행렬 A의 역행렬입니다.

3단계: 기본 작업을 수행하는 동안 행 작업이나 열 작업을 사용해야 합니다.

기본 연산을 사용하면 2×2 행렬의 역함수를 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 통해 이를 이해해 봅시다.

예: 2 × 2의 역수를 구합니다. A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}기본 연산을 사용합니다.

해결책:

주어진:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

이제 R₁⇢ R₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

아르 자형₂⇢ R₂– R₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

아르 자형₂⇢ R₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

아르 자형₁⇢ R₁– R₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

따라서 행렬 A의 역은 = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} ~이다

ㅏ^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

2×2 행렬의 역예제

2×2 행렬의 역함수는 위에서 설명한 방법 외에 단축 방법을 사용하여 계산할 수도 있습니다. 2 × 2 행렬의 역함수를 계산하는 간단한 방법을 이해하기 위해 예를 생각해 보겠습니다.

주어진 행렬 A에 대해 =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

우리는 |A| = (광고 – 기원전)

그리고 조정 A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

그런 다음 역의 공식을 사용하여

ㅏ^-1= (1 / |A|) × 조정 A

⇒ A^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

따라서 2 × 2 행렬의 역행렬이 계산됩니다.

3X3 행렬의 역예

3×3 행렬 A =를 취해보자.egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

3×3 행렬의 역행렬은 다음을 사용하여 계산됩니다. 역행렬 공식 ,

ㅏ ^-1 = (1 / |A|) × 조정 A

역행렬의 행렬식

역행렬의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식의 역수입니다. 즉.,

그것(A ^-1 ) = 1 / 그것(A)

위 진술의 증명은 아래에서 논의됩니다.

det(A × B) = det(A) × det(B) (이미 알고 있음)

⇒ A × A^-1= I (역행렬 특성에 따라)

⇒ 그것(A×A^-1) = 그것(나)

⇒ 그것(A) × 그것(A)^-1) = det(I) [ 단, det(I) = 1]

⇒ 그것(A) × 그것(A)^-1) = 1

⇒ 그것(A^-1) = 1 / 그것(A)

따라서 입증되었습니다.

역행렬의 속성

역행렬에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

• 임의의 비특이 행렬 A에 대해, (ㅏ ^-1 ) ^-1 =A
• 두 개의 비특이 행렬 A와 B에 대해, (AB) ^-1 =B ^-1 ㅏ ^-1
• 비특이행렬의 역행렬은 존재하고, 특이행렬의 경우 역행렬은 존재하지 않습니다.
• 임의의 비단수 A에 대해, (ㅏ ^티 ) ^-1 = (A ^-1 ) ^티

관련된:

• 가역 매트릭스
• 행렬: 속성 및 공식
• 행렬에 대한 수학적 연산
• 행렬의 행렬식
• 행렬의 행렬식을 찾는 방법은 무엇입니까?

역행렬 풀이 예

역행렬에 관한 몇 가지 예시 문제를 풀어보겠습니다.

예시 1: 역행렬 찾기old{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}공식을 사용합니다.

해결책:

우리는

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

각 요소의 보조인자를 계산한 다음 보조인자 행렬의 전치값을 구하여 행렬 A의 수반점을 찾습니다.

형용사 A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

행렬식의 값을 구합니다.

서명되지 않은 int c 프로그래밍

|아| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= -3

따라서 행렬의 역함수는 다음과 같습니다.

ㅏ^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

예시 2: 공식을 사용하여 행렬 A=old{의 역행렬을 구합니다.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

해결책:

우리는

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

각 요소의 보조인자를 계산한 다음 보조인자 행렬의 전치값을 구하여 행렬 A의 수반점을 찾습니다.

형용사 A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

행렬식의 값을 구합니다.

|아| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)

= 16

따라서 행렬의 역함수는 다음과 같습니다.

ㅏ^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

예시 3: 행렬 A=의 역함수 찾기old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } 공식을 사용합니다.

해결책:

우리는

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

각 요소의 보조인자를 계산한 다음 보조인자 행렬의 전치값을 구하여 행렬 A의 수반점을 찾습니다.

형용사 A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

행렬식의 값을 구합니다.

|아| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)

= 1

따라서 행렬의 역함수는 다음과 같습니다.

ㅏ^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

예시 4: 행렬 A=의 역함수 찾기old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } 공식을 사용합니다.

해결책:

우리는

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

각 요소의 보조인자를 계산한 다음 보조인자 행렬의 전치값을 구하여 행렬 A의 수반점을 찾습니다.

형용사 A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

행렬식의 값을 구합니다.

|아| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)

= 20

따라서 행렬의 역함수는 다음과 같습니다.

ㅏ^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

역행렬에 대해 자주 묻는 질문

역행렬이란 무엇입니까?

행렬의 역수를 행렬의 역수라고 합니다. 0이 아닌 행렬식을 갖는 정사각 행렬만 역행렬이 가능합니다. 역행렬 B를 갖는 임의의 정사각 행렬 A에 대해 그 곱은 항상 동일한 차수의 단위 행렬(I)이라고 가정합니다.

[A]×[B] = [나]

매트릭스란 무엇입니까?

행렬은 정의된 수의 행과 열로 나누어진 숫자의 직사각형 배열입니다. 행렬의 행과 열 수를 차원 또는 차수라고 합니다.

2×2 행렬의 역행렬은 무엇입니까?

임의의 행렬 A 또는 차수 3×3에 대해 그 역함수는 다음 공식을 사용하여 구됩니다.

이름 디렉토리 리눅스 변경

ㅏ ^-1 = (1 / |A|) × 조정 A

3×3 행렬의 역행렬은 무엇입니까?

임의의 정사각형 3×3 행렬(예: A)의 역행렬은 A로 표시되는 동일한 차수의 행렬입니다.^-1그들의 제품은 3×3 차의 단위 행렬입니다.

[ㅏ] _3×3 × [A ^-1 ] _3×3 = [나] _3×3

Adjoint와 Inverse of Matrix는 동일합니까?

아니요, 행렬의 수반과 역행렬은 동일하지 않습니다.

역행렬을 사용하는 방법은 무엇입니까?

행렬의 역함수는 행렬 형태의 대수식을 푸는 데 사용됩니다. 예를 들어, AX = B를 풀려면 A는 계수 행렬이고 X는 변수 행렬이고 B는 상수 행렬입니다. 여기서 변수 행렬은 다음과 같이 역연산을 사용하여 구됩니다.

엑스 = 에이 ^-1 비

가역 행렬이란 무엇입니까?

역행렬이 존재하는 행렬을 역행렬이라고 합니다. 가역 행렬은 0이 아닌 행렬식을 갖는 행렬입니다.

2 × 3 행렬의 역행렬이 존재하지 않는 이유는 무엇입니까?

정사각 행렬의 역행렬만 존재합니다. 2 × 3 행렬은 정사각 행렬이 아니라 직사각 행렬이므로 역행렬은 존재하지 않습니다.

마찬가지로 2 × 1 행렬도 정사각 행렬이 아니라 직사각 행렬이므로 역행렬이 존재하지 않습니다.

단위 행렬의 역행렬이란 무엇입니까?

단위 행렬의 역은 단위 행렬 자체입니다. 이는 단위 행렬이 다음과 같이 표시되기 때문입니다. 나 (또는 나 _N 대한 N × N 행렬)은 주대각선을 따라 있는 모든 요소가 1이고 다른 모든 요소는 0인 유일한 행렬입니다. 단위 행렬에 그 자체(또는 그 역행렬)를 곱하면 단위 행렬을 다시 얻습니다.